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    ??槲? 常见分布

    一.常见的离散型随机变量

    1.0?1分布

    随机变量X所有可能的取值只有0或者1,且取1的概率为p?0?p?1?,取0的概率为1?p,则称该随机变量服从0?1分布.0?1分布的分布律为:

    X 1 0 1?p P p 2.二项分布

    伯努利试验:如果试验只有两个结果A(成功),A(失败),且每次试验成功的概率是不变的,则称这种试验为伯努利试验. 将一个伯努利试验独立重复地进行n次,则称n重伯努利试验.

    设在每次试验中,P?A??p?0?p?1?,则在n重伯努利试验中事件A出现k次的概率:

    kkPn?k??Cnp?1?p?n?k?k?0,1,2,?,n?.

    n?kkk若随机变量X的概率分布为P?X?k??Cnp?1?p?,k?0,1,...,n,则称随机变量

    X服从参数为?n,p?的二项分布,并记X?B?n,p?.

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    注:若X?B?n,p?,那么X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数,其中

    P?A??p.

    3.几何分布

    若随机变量X的概率分布为P?X?k???1?p?k?1p,k?1,2,......,其中参数p满足

    0?p?1,则称随机变量X服从参数为p的几何分布,并记X?G?p?.

    注:若X?G?p?,那么X表示在伯努利试验中,某事件A首次发生时进行的试验次数,且P?A??p.

    4.泊松分布

    若随机变量X的概率分布为P?X?k???kk!e???k?0,1,2,??,其中参数??0,则

    称随机变量X服从参数为?的泊松分布,并记X?P???.

    【例1】大楼的楼道里有5盏路灯,在任意时刻,每盏路灯亮着的概率为0.1. 试计算,在同一时刻:

    (1)有两盏灯亮着的概率; (2)至少有三盏灯亮着的概率; (3)至多有两盏灯亮着的概率.

    2【答案】:(1)C5?0.1?0(3)C5?0.1?02?0.9?3,(2)C35?0.1?143?0.9?224+C5?0.1??0.9?+C55?0.1?, 3415?0.9?52+C15?0.1??0.9?+C5?0.1??0.9?

    ??cosx【例2】设连续型随机变量X的概率密度f(x)????0地进行3次观察,求至少有两次大于

    0?x?其他?2,现对X独立

    ?的概率. 6中公考研,让考研变得简单! 查看更多考研数学辅导资料

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    【答案】:

    【例3】随机变量X?P???,Y?P?2??,P?X?1??【答案】:

    【例4】随机变量X的分布律为P{X?k}?C【答案】:

    【例5】有n把钥匙,只有一把是正确的,现逐一检验,直到找出正确的钥匙为止,求试验次数X的分布律.

    【答案】:

    1 21,求P?Y?1?. 524 25?kk!,k?1,2,3...求C

    1

    e??1

    ?1?P?X?k???1???n?k?11,k?1,2,......或 n2 3 … … X P 1 n?2 1 nn?1 2 n1 n1 n1 n

    二.常见连续型随机变量

    1.均匀分布

    ?1,a?x?b,?若随机变量X的概率密度为f?x???b?a,则称X服从区间?a,b?上

    ?其他.?0,的均匀分布,记为X?U?a,b?. 其分布函数:

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    xF?x??????0, x?a,?x?a?f?t?dt??,a?x?b,

    ?b?a??1, x?b.2.指数分布

    ??e??x,x?0,若随机变量X的概率密度为f?x???其中参数??0,则称X服从参

    x?0.?0,数为?的指数分布,记为X?E???.

    ?1?e??x,x?0,注:(1)X?E???,则分布函数F?x???.

    其他.?0,(2)X?E???,则

    P?X?X1?X2?e???x1?x2?P?X?X1?X2X?X1?????x1?e??x2?P?X?X2?,这

    P?X?X1?e是指数分布的重要性质:“无记忆性”.

    3.正态分布

    1)定义

    若随机变量X的密度函数为f?x??1e2????x???22?2?x?R?,其中参数??R,??0,

    则称X服从正态分布,记为X?N?,?2. 特别地,将N?0,1?称为标准正态分布,其概

    x1?t21?x2率密度和分布函数分别记作?(x)?edt. e与?(x)????2?2?22??2)常用性质

    (1)X?N?,?2,则要思路:标准化.

    (2)正态分布N?,?2具有对称性,也即其概率密度是关于直线x??对称的.特别地,标准正态分布的概率密度是偶函数;该性质也可以概括成等式:???x????x??1.

    ??X????N?0,1?. 该公式揭示了求解正态分布问题的一个重

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    【例6】设随机变量X?U?0,6?,试计算方程t?Xt?2?0无实根的概率.

    2【答案】

    3?2 3【小结】均匀分布中的概率等于长度比.

    【例7】设随机变量X?E???,则P?X?【答案】:e

    【例8】设随机变量X?N10,0.022,已知??2.5??0.9938,则X落在区间

    ?1

    ??1???________. ?????9.95,10.05?内的概率为___________.

    【答案】:0.9876

    【例9】设X?N?,?2,则概率P?X?????( )

    ???A?随?的增加而增大 ?B?随?的增加而增加 ?C?与?无关,与?有关 ?D?与?,?都无关

    【答案】:?D?

    【例10】设随机变量X服从正态分布N?,?2?????0?,若P?X?4??1,则 2??_________.

    【答案】:4

    【例11】设随机变量X?N(2,?),若P{0?X?2}?0.3,求P{X?4}. 【答案】:0.2 【

    12

    2X?N??1,?12?,Y?N??2,?2?2,且

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    P?X??1?1??P?Y??2?1?,则必有( ).

    ?A??1??2?B??1??2?C??1??2?D??1??2

    【答案】:?A?

    【小结】正态分布在所有分布中起着核心的作用,处理与正态分布相关的题目,主要有两种思路. 一、标准化:若X?N?,?2,则

    ??X????N?0,1?;二、对称性:若

    X?N??,?2?,则其概率密度关于x??对称.

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